\subsection{时间均匀和能量守恒}

时间流逝是内察地均匀的，不存在与众不同的绝对的时间标架，因此，和经典
力学情况相似，一个孤立的没有任何外界参照物的量子体系Hamilton量中不能显
含时间参量否则就可以观测体系的绝对的时间坐标，这违背时间轴的均匀性
质，因此设想沿着时间轴平移这个体系，将不会造成任何物理上可察觉的变化，也
就是说，对孤立量子体系，时间原点的不同选取在物理上是完全等价的，这显然也
意味着,孤立量子体系在演化中的绝对相因子(常称为整体相因子或外部相因子)是不可以观测的.

先给出时间平移算符.时间平移算符$U(\tau)$是这样一种关于体系演化时间的变换算符,
它是在设想中将体系的描述沿时间轴向未来方向平移$\tau$的操作,
即把体系在任一时刻$t=t_0$发生的事件于设想中推迟到$t=t_0+\tau$时刻发生.于是

\begin{equation*}
    U(\tau): \quad \psi(t) \rightarrow \psi(t-\tau), \quad U(\tau)|\Psi(t)\rangle=|\Psi(t-\tau)\rangle
\end{equation*}

这里$t-\tau$是因为,在变换前的$t$时刻体系处于$|\Psi(t)\rangle$;
在变换后到$t^{\prime}=t+\tau$时刻体系才处于$|\Psi(t)\rangle$.
如果$H$不显含$t$,可以求得$U(\tau)$的简洁的表示式.按Schrödinger方程

\begin{equation*}
    \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}|\Psi(t)\rangle=\frac{H}{\mathrm{i} \hbar}|\Psi(t)\rangle
\end{equation*}
于是一般地有
\begin{equation*}
    \left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right)^n|\Psi(t)\rangle=\left(\frac{H}{\mathrm{i} \hbar}\right)^n|\Psi(t)\rangle
\end{equation*}
所以
\begin{equation*}
    \mathrm{e}^{+\mathrm{i} \frac{\tau H}{\hbar}}|\psi(t)\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(\frac{\mathrm{i} \tau}{\hbar} H\right)^n \psi(t)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-\tau)^n}{n!}\left(\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} t}\right)^n \psi(t)=|\psi(t-\tau)\rangle
\end{equation*}
即

\begin{equation*}
    \psi(t-\tau)\rangle=\mathrm{e}^{\frac{H_\tau}{h}}|\psi(t)\rangle
\end{equation*}

由此,这种保持时间标架不变而将体系沿时间轴平移$\tau$的算符或么正变换(这称为主动方式,而不是被动方式——体系不动而将时间轴反方向平移)的表达式为

\begin{equation*}
    U(\tau)=\mathrm{e}^{\frac{i H \tau}{\hbar}}
\end{equation*}

按$U(\tau)$的定义,它推迟时间演化,因而和时间演化算符是反方向的.
显然$U(\tau)$也是一个么正变换,不改变体系的一切可观察物理效应.
在这个变换下,态和算符的变化分别为

态的变化: $\psi \psi(t)\rangle \rightarrow\left|\psi^{(\tau)}(t)\right\rangle=U(\tau)|\psi(t)\rangle=|\psi(t-\tau)\rangle$
算符的变化: $\Omega \rightarrow \Omega^{(\tau)}=U(\tau) \Omega U(\tau)^{-1}$

于是,对任给的两个态矢$|\varphi(t)\rangle$ 、 $|\psi(t)\rangle$和任一力学量算符$\Omega$,总有
\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \left\langle\varphi^{(t)}(t) \mid \psi^{(t)}(t)\right\rangle                           & \equiv\langle\varphi(t-\tau) \mid \psi(t-\tau)\rangle                                          \\
                                                                                               & =\left\langle\varphi(t)\left|U(\tau)^{-1} \cdot U(\tau)\right| \psi(t)\right\rangle            \\
                                                                                               & =\langle\varphi(t) \mid \psi(t)\rangle                                                         \\
        \left\langle\varphi^{(\tau)}(t)\left|\Omega^{(t)}\right| \psi^{(\tau)}(t)\right\rangle & =\left\langle\varphi(t-\tau)\left|U(\tau) \Omega U(\tau)^{-1}\right| \psi(t-\tau)\right\rangle \\
                                                                                               & =\left\langle\varphi(t)\left|U^{-1} U \Omega U^{-1} U\right| \psi(t)\right\rangle              \\
                                                                                               & =\langle\varphi(t)|\Omega| \psi(t)\rangle
    \end{aligned}
\end{equation*}

即在$U(\tau)$变换前后,孤立系所有概率幅和矩阵元都应当不变,就是说,
时间平移算符$U(\tau)$是孤立系的对称变换.按Noether第一定理,其生成元$H$是个守恒量.即

\begin{equation*}
    \frac{\mathrm{d} H}{\mathrm{~d} t}=0
\end{equation*}

这就导致孤立系的能量守恒定律.说明在孤立系所处的任何态$|\psi(\boldsymbol{r}, t)\rangle$中,
第一, $H$的平均值不随时间变化;
第二, $H$取各个本征值的概率只决定于事先给定的初态中的分布,不再随时间变化.
特殊情况下,如果初态为体系某个能量本征态,以后将一直保持不变.

注意,孤立体系Hamilton量$H$守恒的这两点含义并未要求体系必须处于$H$的本征态上.
一般说,即便一个孤立的量子体系,也可能处在一些能量本征态的叠加态上——由体系初条件所造成的含时态！
比如Gauss波包的自由演化，以及被入射电子碰撞后处于基态与第一激发态相干叠加态的氢原子,就是两个最简单的例子.
于是,量子力学主张,即使观测一个孤立体系的能量,仍有可能出现涨落,只能得到固定的平均值和固定的涨落分布.
量子力学的这个观点和Einstein所持的"定域物理实在论"观点
(常称为"EPR佯谬",主张孤立系可观测物理量应当具有确定的数值）明显不同.

\subsection{空间均匀性和动量守恒定律}

用类似方式,考虑空间坐标系不动,将体系平移一段有限距离$\boldsymbol{a}$,求得空间平移么正算符$U(\veca)$ 。
按$U(\veca)$定义,对任意态矢均应有

\begin{equation*}
    \left|\psi^{(\boldsymbol{a})}(\boldsymbol{r}, t)\right\rangle \equiv U(\boldsymbol{a})|\psi(\boldsymbol{r}, t)\rangle \equiv|\psi(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}, t)\rangle
\end{equation*}

右边态矢里$\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}$中的负号可以这样理解:
设体系为一团概率幅云, 左方为变换之后的云团在$\boldsymbol{r}$处的值
$\left|\psi^{(a)}(\boldsymbol{r}, t)\right\rangle$,
它是变换之前的云团在$\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}$处的值
$|\psi(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}, t)\rangle$,
这说明这一团概率云移动了$\boldsymbol{a}$距离.于是

\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        \left|\psi^{(\boldsymbol{a})}(\boldsymbol{r}, t)\right\rangle & =U(\boldsymbol{a})|\psi(\boldsymbol{r}, t)\rangle=|\psi(\boldsymbol{r}-\boldsymbol{a}, t)\rangle=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}\left(\sum_{i=1}^3-a_i \frac{\partial}{\partial x_i}\right)^n|\psi(\boldsymbol{r}, t)\rangle \\
                                                                      & =\exp (-\boldsymbol{a} \cdot \nabla)|\psi(\boldsymbol{r}, t)\rangle=\exp \left(-\frac{i}{\hbar} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{p}\right)|\psi(\boldsymbol{r}, t)\rangle
    \end{aligned}
\end{equation*}
所以,使体系空间平移$\boldsymbol{a}$的算符为

\begin{equation*}
    U(\boldsymbol{a})=\exp \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \boldsymbol{a} \cdot \boldsymbol{p}\right)
\end{equation*}

按上面所说,如果体系具有空间平移不变性(孤立系必定如此),这个幺正变换将是体系的对称变换,
它的生成元——动量算符$p$就是个守恒量,即体系的动量守恒.对于多粒子体系,
将$\boldsymbol{r}$替换为$\boldsymbol{r}_i(i=1,2, \cdots, n)$,简单推广这里的推导,
可得将体系作空间平移$\boldsymbol{a}$的算符为

\begin{equation*}
    U(a)=\exp \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} a \cdot \sum_{i=1}^n p_i\right)
\end{equation*}

如果这个多粒子体系具有空间平移不变性,其总动量$P=\sum_{i=1}^n p_i$将是个守恒量.

举一个经典力学的例子,由它可以引出Newton第三定律,同时表明经典的和量子的分析来自同一时空特性.
设有两个宏观粒子组成一个孤立体系,它们之间存在相互作用.由于它们所处空间有着内禀的均匀性,
它们在空间中的绝对坐标是不可观测的,所以它们之间的相互作用就只能依赖于它们的相对坐标,
成为$V\left(\boldsymbol{r}_1-\boldsymbol{r}_2\right)$形式.根据力的表达式,
作用在第$i$个粒子上的作用力为$\boldsymbol{F}_i=-\nabla_i V$.按照$V$的这种形式,就得到

\begin{equation*}
    \boldsymbol{F}_1=-\boldsymbol{F}_2
\end{equation*}

这就是Newton第三定律.由于$\boldsymbol{F}_i=\frac{\mathrm{d} \boldsymbol{p}_i}{\mathrm{~d} t}$,
第三定律其实就是两个宏观粒子孤立体系总动量守恒的等价说法.
这说明,与这里量子力学分析一样,第一定律和第三定律也是根源于宏观粒子所处时空的均匀性,
而经典分析所导致的总动量守恒的结论和量子力学的结论也一般无二.
量子力学所不兼容的只是Newton第二定律、质点概念(以及轨道概念).
不过为了描述普适和方便,量子力学和后继课程更常用的是势的概念,而不是力的概念.

和前面能量守恒情况类似,说动量守恒,并不等于体系一定得处在动量本征态上,这要看初条件如何而定.
例如,自由运动波包的动量是个守恒量,波包的初条件是一系列动量本征态的某种叠加,其后动量的平均值和分布都将一直不变,
尽管波包在位形空间中弥散着、变形着.至于边界条件,它的存在必将导致粒子和边界物体的动量交换而使粒子动量不守恒,
妨碍具有非定域性质的动量本征态解的存在.
\subsection{空间各向同性和角动量守恒}

设将量子体系绕$e_n$轴转过一个很小角度$\Delta \alpha$,
相应的转动算符$U\left(\Delta \alpha e_n\right)$为

\begin{equation*}
    \left|\psi^{(\Delta \rho)}(r, t)\right\rangle \equiv U\left(\Delta \alpha e_n\right)|\psi(r, t)\rangle \equiv|\psi(r-\Delta \rho, t)\rangle
\end{equation*}

这里$\Delta \rho=\left(e_n \times r\right) \Delta \alpha$.

\begin{equation*}
    \begin{aligned}
        |\psi(r-\Delta \rho, t)\rangle & =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(-\Delta \rho \cdot \nabla)^n|\psi(r, t)\rangle                               \\
                                       & =\sum_n \frac{1}{n!}(-\Delta \alpha)^n\left[\left(e_n \times r\right) \cdot \nabla\right]^n|\psi(r, t)\rangle  \\
                                       & =\sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!}(-\Delta \alpha)^n\left[e_n \cdot(r \times \nabla)\right]^n|\psi(r, t)\rangle \\
                                       & =\exp \left(\frac{-1}{\hbar} \Delta \alpha e_n \cdot \hat{L}\right)|\psi(r, t)\rangle
    \end{aligned}
\end{equation*}
显然,体系绕同一根$e_n$轴作有限角度$\alpha$的转动等于绕该轴一系列小转动的连乘积.
这些小转动都是绕同一根轴进行,它们之间可以对易.于是这些指数算符的连乘能够紧凑地写为这些算符指数上转角相加.于是有

\begin{equation*}
    U\left(\alpha e_n\right)=\exp \left(-\frac{\mathrm{i}}{\hbar} \alpha e_n \cdot \hat{L}\right)
\end{equation*}
量子体系所处空间,其内禀性质是各向同性的.若不存在有向外场（如重力场）破坏,并无特殊方向可言.
假如将一个孤立体系绕任何轴旋转一个任意角度,这类操作不应当影响体系的任何物理性质,不可能有
任何实验观察效应.或者换种说法,如果体系中相互作用势是空间各向同性的(如中心场那样),
于是所有这些$\alpha e_n$转动变换都是使此体系保持不变的对称变换,
这导致它们的生成元一角动量矢量$\hat{L}$守恒.但这时要注意,虽然$\hat{L}$的三个分量都是守恒量,
但由于它们彼此不对易,不能同时有各自确定的本征值.例如,当$L_x$取某个本征值$m^{\prime} \hbar$
(相应地,态是$L_x$的本征态)时, $L_y$和$L_z$将以一定的概率分布取可能的(共$2l+1$个) $m \hbar$值.
于是对$L_y$或$L_z$作单次测量时,结果都将呈现不确定性.
尽管如此, $L_y$和$L_z$取值的概率分布以及平均值$\bar{L}_y, \bar{L}_z$均不随时间变化.

\begin{note}
    由于时间和空间内
    京地具有均匀各向同性性质，只要不遭受外来破坏，这些属性就会自然地体现在体
    系运动行为之中，成为体系能量、动量、角动量三个普适守恒定律的物理根源，显
    然，对孤立系，不论其中发生什么过程，均会因为体系所在时空的这些固有属性币
    必定遵守这三个定律，所以，与其说这三个守恒定律是体系本身的內禀性质，不如
    更确切地说，是时空这些属性在体系运动行为上的体现，这就是为什么从经典力学
    过渡到量子力学时，虽然研究对象行为过然不同，概念和结论也发生了天翻地覆的
    变化，但这三个守恒律却能安然无慈地贯穿下来的缘故，因为，从经典观点来看量
    子体系的行为虽然“古怪”，但毕竟也是存在于、运动于和经典体系同一时空之中。从
    而，这些时空属性也必定“烙印”（或“体现”）在量子体系运动行为上，使量子体
    系表现出（如同经典体系已经表现出的那样）三个守恒定律的存在，三个守恒定律
    的物理基础正是时空均匀各向同性性质，反过来也可以说，一旦这些性质因为某种
    原因遭到破坏，这些守恒定律是否成立就值得考察了，
\end{note}

\subsection{空间反射对称性和宇称守恒}

在非相对论量子力学范围内，有关时空的变换，除上述三个连续变换之外，还有两个分立变换，
这就是空间反射变换和时间反演变换.这里叙述空间反射变换。

在经典力学中，空间反射变换的定义是

\begin{equation*}
    \vecr \rightarrow-\vecr, \quad \vecp \rightarrow-\vecp
\end{equation*}

类比经典情况,在量子力学中引入宇称算符$\hat{P}$,它的定义类似是

\begin{equation*}
    \hat{P}: \quad \hat{P} r \hat{P}^{-1}=-r, \quad \hat{P} p \hat{P}^{-1}=-\boldsymbol{p}
\end{equation*}

显然可证它们等价于

\begin{equation*}
    \hat{P}|\boldsymbol{r}\rangle=|-\boldsymbol{r}\rangle, \quad \hat{P}|\boldsymbol{p}\rangle=|-\boldsymbol{p}\rangle \quad(\forall \boldsymbol{r}, \boldsymbol{p})
\end{equation*}

由此可以得到宇称算符的
\begin{equation*}
    \hat{P}=\int_{-\infty}^{+\infty}|-p\rangle\left\langle p\left|\mathrm{~d} p=\int_{-\infty}^{+\infty}\right| p\right\rangle\langle-p| \mathrm{d} p
\end{equation*}
并矢表示式.例如,取坐标表象,这时基矢为$\{|\boldsymbol{r}\rangle, \forall \boldsymbol{r}\}$.由$\hat{P}$的定义（6.17）式，考虑基矢完备性条件，即得

\begin{equation*}
    \hat{P}=\int_{-\infty}^{+\infty}|-\boldsymbol{r}\rangle\left\langle\boldsymbol{r}\left|\mathrm{d} \boldsymbol{r}=\int_{-\infty}^{+\infty}\right| \boldsymbol{r}\right\rangle\langle-\boldsymbol{r}| \mathrm{d} \boldsymbol{r}
\end{equation*}

同理, $\hat{P}$用动量表象基矢的并矢表示式为

\begin{equation*}
    \hat{P}=\int_{-\infty}^{+\infty}|-p\rangle\langle p|\mathrm{~d} p=
    \int_{-\infty}^{+\infty}| p\rangle\langle-p| \mathrm{d} p
\end{equation*}

$\hat{P}$在坐标表象中的矩阵元为

\begin{equation*}
    \left\langle\boldsymbol{r}^{\prime}|\hat{P}| \boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime} \mid-\boldsymbol{r}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{r} \mid \boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right\rangle \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\int_{-\infty}^{+\infty} \delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}+\boldsymbol{r}\right) \delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime \prime}+\boldsymbol{r}\right) \mathrm{d} \boldsymbol{r}=\delta\left(\boldsymbol{r}^{\prime}+\boldsymbol{r}^{\prime \prime}\right)
\end{equation*}

根据$\hat{P}$的定义，可得$\hat{P}$对任意态作用后的波函数为

\begin{equation*}
    \langle\boldsymbol{r}|\hat{P}| \psi\rangle=\int_{-\infty}^{+\infty}\left\langle\boldsymbol{r} \mid-\boldsymbol{r}^{\prime}\right\rangle\left\langle\boldsymbol{r}^{\prime} \mid \psi\right\rangle \mathrm{d} \boldsymbol{r}^{\prime}=\psi(-\boldsymbol{r})
\end{equation*}


说明变换后的波函数$\psi(-r)$是原先$\psi(r)$的镜像反射.若以波函数作态矢的标记，就有

\begin{equation*}
    \hat{P}|\psi(\boldsymbol{r})\rangle=|\psi(-\boldsymbol{r})\rangle
\end{equation*}

容易证明：宇称算符$\hat{P}$是Hermite的、幺正的和自逆的,

\begin{equation*}
    \hat{P}=\hat{P}^{+}=\hat{P}^{-1}
\end{equation*}

\begin{proof}
    按标积定义,对两个任意态矢总有
    \begin{equation*}
        \langle\varphi(\boldsymbol{r}) \mid \psi(-\boldsymbol{r})\rangle=\langle\varphi(\boldsymbol{r}) \mid \psi(\boldsymbol{r})\rangle
    \end{equation*}
    于是有
    \begin{equation*}
        \left\langle\varphi(\boldsymbol{r})\left|\hat{P}^{+} \hat{P}\right| \psi(\boldsymbol{r})\right\rangle=\langle\varphi(\boldsymbol{r}) \mid \psi(\boldsymbol{r})\rangle
    \end{equation*}
    鉴于$|\varphi(\boldsymbol{r})\rangle,|\psi(\boldsymbol{r})\rangle$的任意性,从而有
    \begin{equation*}
        \hat{P}^{+} \hat{P}=I
    \end{equation*}
    说明宇称算符是么正的.

    还有,两次相继的空间反射变换乘积是一个恒等变换,即
    \begin{equation*}
        \hat{P}^2=I \rightarrow \hat{P}=\hat{P}^{-1}
    \end{equation*}
    说明宇称算符是自逆的
\end{proof}


宇称算符只有两个本征值: $\pm1$.这两个本征态矢构成完备集,可用于展开任意态矢.
比如,在坐标表象里将这个结论叙述出来就成为，任意波函数总可以分解为两部分之和：
空间反射对称的和空间反射反对称的,即

\begin{equation*}
    \psi(r)=\frac{1}{2}(\psi(r)+\psi(-r))+\frac{1}{2}(\psi(r)-\psi(-r)) \equiv \psi_{\mathrm{s}}(\boldsymbol{r})+\psi_{\mathrm{A}}(\boldsymbol{r})
\end{equation*}
可以证明,宇称算符是个纯量子力学算符,不能用经典形式表示出来.就是说,
$\hat{P}$不能用$\hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{p}}$
等有经典对应力学量的算符的任意函数表示${ }^{\oplus}$ 。证明如下。

反证法：假定可以用$\hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{p}}$某个函数
${f(\hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{p}})}$把宇称算符$\hat{P}$表示出来,
即$\hat{P}={f(\hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{p}})}$,
于是令$\hbar \rightarrow0$向经典过渡时,
${f(\hat{\boldsymbol{r}}, \hat{\boldsymbol{p}})} \equiv \hat{f}$将趋于它的经典对应物
${f(\boldsymbol{r}, \boldsymbol{p})} \equiv f$.这时即$\hat{f}$
的经典对应物$f$与经典力学量$p_i$是对易的,

\begin{equation*}
    f p_i=p_i f \rightarrow \lim_{n \rightarrow0}\left[\hat{f}, \hat{p}_i\right]=\lim_{n \rightarrow0} \hbar \frac{\partial \hat{f}}{\partial \hat{p}_i}=0
\end{equation*}

但另一方面, $\hat{f}$是宇称算符,按其定义应当有

\begin{equation*}
    \hat{f} \hat{p}_i \hat{f}^{-1}=-\hat{p}_i \text {,即} \hat{f} \hat{p}_i=-\hat{p}_i \hat{f} \quad(i=x, y, z)
\end{equation*}

显然此式也可以作经典趋近,并得出反对易的结果.经典情况下的两种不同结果表
明,只能有$f=0$.这说明宇称算符不能被表达成$\hat{\boldsymbol{r}}$和$\hat{\boldsymbol{p}}$的任何函数
$\hat{f}$,否则其经典对应物$f$必为零,反推回去宇称算符$\hat{f}$本身为零
（由于$\hat{f}^2=I$ ，正比于$\hbar$的正幕次也是不可能的).

注意,宇称算符的本征值是相乘的。这是因为,同一粒子的几部分波函数（或多粒子的波函数)总是相乘的,
经宇称算符的作用,所得各部分的宇称本征值也就是相乘的.
与此同时,连续变换所对应的(力学量的)本征值是相加的.因为连续变换所对应的守恒量均在指数上,
指数算符相乘时指数上的量相加.故其各部分波函数所具有的本征值就是相加的.例如,核和粒子物理反应

\begin{equation*}
    a+b \rightarrow c+d
\end{equation*}

输入态为$\mid$ input $\rangle=|a\rangle|b\rangle \mid a b$, rel.
$\rangle,|a\rangle$和$|b\rangle$分别为$a$和$b$粒子的内部状态,
$\mid a b$, rel. $\rangle$表示$a, b$两粒子间的相对运动状态.
空间反射变换作用于所有各部分,假设$|a\rangle$内禀宇称为$P_a,|b\rangle$内禀宇称为$P_b$,
相对运动的宇称为$P_{a b}$,即设

\begin{equation*}
    \left.\left.\hat{P}_a|a\rangle=P_a|a\rangle, \quad \hat{P}_b|b\rangle=P_b|b\rangle, \quad \hat{P}_{a b} \mid a b, \text { rel. }\right\rangle=P_{a b} \mid a b, \text { rel. }\right\rangle
\end{equation*}

初态的总宇称量子数就成为

\begin{equation*}
    \left.\hat{P} \mid \text { input }\rangle=\hat{P}_a|a\rangle \cdot \hat{P}_b|b\rangle \cdot \hat{P}_{a b} \mid a b, \text { rel. }\right\rangle \rightarrow P_{\text {in }}=P_a P_b P_{a b}
\end{equation*}

对于末态情况类似,

\begin{equation*}
    \left.\hat{P} \mid \text { output }\rangle=\hat{P}_c|c\rangle \cdot \hat{P}_d|d\rangle \cdot \hat{P}_{c d} \mid c d, \text { rel. }\right\rangle \rightarrow P_{\text {out }}=P_c P_d P_{c d}
\end{equation*}

注意$P_{a b}=(-1)^{l a}, l_{a b}$是$a, b$两粒子相对运动的轨道角动量量子数.
这是因为,空间反射只与方位角有关,略去相对运动波函数的径向部分,
只需考虑方位角部分$\mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)$.
由于空间反演下$(r, \theta, \varphi) \xrightarrow{r \rightarrow-r}(r, \pi-\theta, \pi+\varphi)$,
所以两粒子相对运动波函数经受

\begin{equation*}
    \hat{P}: \quad \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi) \rightarrow \mathrm{Y}_{l m}(\pi-\theta, \pi+\varphi)=(-)^t \mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)
\end{equation*}

说明$\mathrm{Y}_{l m}(\theta, \varphi)$是宇称算符本征值为$(-1)^l$的本征态,故$(-1)^l$又称为轨道宇称.
末态情况类似.如果反应过程遵守宇称守恒定律,则反应前后总宇称量子数应当相等.
用$l_{a b}, l_{c d}$分别表示$(a, b)$之间和$(c, d)$之间相对运动轨道角动量量子数,有等式

\begin{equation*}
    (-1)^{l_b} P_a P_b=(-1)^{l_d} P_c P_d
\end{equation*}

如果反应过程中存在弱作用,反应前后的总宇称量子数将不相等.

\subsection{时间反演对称性}
% TODO 
\begin{note}
    这部分在量子力学的框架内很难说清楚.
\end{note}